Der Auftriebsbeiwert

Nach vielen Nachfragen hier eine kurze Zusammenfassung der häufigsten Begriffe und Abkürzungen auf meiner Website. Wer nur an einer kleinen Formelsammlung interessiert ist, besucht bitte Hannes Delago. Ich gehe hier nur auf die praktisch relevanten Dinge bei der Anwendung der Formeln ein, die Tricks und Tücken. Mehr nicht! Dieses hier ist keine wissenschaftliche Zusammenfassung oder sonstwas. Wer es wirklich genau wissen will, ist hier vollkommen falsch! Wer mehr wissen will, kauft sich bitte ein Buch!

Die Definitionsgleichung

A = r/2 * v² * ca* F

A Auftrieb (N)
r (rho) Dichte (kg/m³)
v Geschwindigkeit (m/s)
ca Auftriebsbeiwert (-)
F Bezugsfläche (m²)

Diese Formel kann man in alle möglichen und unmöglichen Richtungen auflösen. Es handelt sich bei dieser Formel um eine mathematische Definitionsgleichung, weswegen sie wohl vielen Leuten Probleme bereitet. Mit einem Zahlenbeispiel verstehen wir Sie aber vielleicht.

Sehr wichtig: Auftriebsbeiwert ca und Bezugsfläche F gehören untrennbar zusammen! Wenn man den ca auf eine andere Bezugsfläche bezieht, als dieser zum Beispiel mit Hilfe einer Auftriebsverteilungsrechnung berechnet wurde, rechnet man Mist. Beispiel gefällig? Rechnet man das Höhenleitwerk bei der Fläche nun mit oder nicht? Dazu kommen wir weiter unten, also bitte nicht nervös werden und wilde Emails schreiben.

Rechenbeispiel

Im Normalfall kennen wir unser Fluggewicht G sehr genau, dank einer Digitalwaage. Im Geradeausflug ist A=G. Also sollten wir unsere Gleichung umbauen, weil A damit bekannt ist. Was wir aber oft nicht wissen, ist die Fluggeschwindigkeit v. Also lösen wir dahin auf:

v = Quadratwurzel (2*m*g/(F*r*ca))

Schlaumeier erkennen an dieser Stelle zwei Dinge:

1. Wir haben uns die Freiheit genommen, A durch m*g zu ersetzen, die Masse m multipliziert mit der Erdbeschleunigung g.
2. G/F ist unsere wohlbekannte Flächenbelastung
   

G/F=1N/m²=0,102kg/m²=100g/100dm²=1g/dm²

1N/m² entspricht also in etwa 1g/dm², unserer gewohnten Flächenbelastung. Das ist eine kleine physikalische Schweinerei , stimmt aber, wenn man die Erdbeschleunigung 10m/s² sein läßt. Fortan setzen wir für G/F immer unsere bekannte Flächenbelastung in g/dm² ein, wohlwissend, daß es eigentlich N/m² sein müßten. Die Luftdichte setzen wir meist mit 1,225kg/m³ an. Im Vergleich zum Fehler bei der Annahme dieser Luftdichte (Standardatmosphäre) nimmt sich die Rundung bei der Erdbeschleunigung geradezu winzig aus.

Beispiel Modell
Flächenbelastung 45g/dm²
Auftriebsbeiwert ca=0,9

v=(2*45/(1,225*0,9))^0,5
v=9,0m/s = 32,5km/h

Flächenbelastung 45g/dm²
Auftriebsbeiwert ca=0,1

v=(2*45/(1,225*0,1))^0,5
v=27,1m/s = 97,6km/h

Hinweise
Dieses Rechenbeispiel geht davon aus, daß der Auftrieb des Höhenleitwerk (HLW) gleich null ist. Bezugsfläche für die Flächenbelastung ist die Flügelfläche ohne Höhenleitwerk, da sie in unserem Fall keinen Auftrieb liefert. Das ca bezieht sich nur auf den Flügel, man könnte es daher auch mit caF indizieren. Für die beiden Trimmzustände ca=0,9 und ca=0,1 braucht man allerdings eine andere SWP-lage und Höhenruderstellung, um caH=0 zu gewährleisten.

Dieses Rechenbeispiel ist genauso richtig, wenn die Gesamtflächenbelastung (Flügel+HLW, auch als FAI-Flächenbelastung bekannt) zugrundegelegt wird, aber ein "verschmierter" Auftriebsbeiwert von Höhenleitwerk und Flügel vorliegt. Man spricht dann auch vom Gesamt-ca oder Flugzeug-ca. Bei Flugmessungen kennt man die einzelnen Anteile nicht und verwendet daher zwangsläufig diesen Ansatz. Im Gesamt-ca sind auch Rumpfauftriebsanteile usw. enthalten. Bezugsfläche für den Gesamt-ca (cA) ist F_cA = F_Flügel + F_Hlw.

Beide Fälle mischen heißt Mist rechnen! Bei Nurflügeln ist Flügel=Flugzeug und dieser Fall muß daher nicht unterschieden werden!

Wir erkennen hier: Das ca beschreibt bei einer gegebenen Flächenbelastung und Luftdichte nichts anderes als die Fluggeschwindigkeit. Wenn man in eine Profilpolare geht, findet man nur den Auftriebsbeiwert, weil der unabhängig von allen physikalischen Größen ist. Das bietet nebenbei noch ein paar mehr Vorteile, aber das führt hier zu weit. Nochwas: CA<0 ist Rückenflug, sonst fragt wieder jemand.

Abkürzungen

Leider habe ich auf meiner Website ca und cA selber nicht immer sauber getrennt. Beiwerte ceofficients "c" werden grundsätzlich klein geschrieben, aber man kann im Index deutlich machen, daß es unterschiedliche Bezüge sind. Wenn man dieser "engen" Indizierung folgt, müßte die Auftriebsgleichung cA als Formelzeichen enthalten. Es ist allerdings nur bedingt üblich, diese Unterscheidung zu machen. Ich verwende sie hier, um den Unterschied zwischen Funktion ca(y) und Effektivwert cA deutlich zu machen.

Zwischen ca und cA besteht ein Unterschied, weil der ca über die Spannweite wegen der Auftriebsverteilung variiert und cA der Mittelwert (integriert) einer solchen Verteilung ist. Wir können das am Beispiel dieser Horten II Auftriebbeiwertsverteilung schön erkennen.
y=0 ist die Flügelmitte, y=1,0 die Flügelspitze.

Bild 1: Horten HII Auftriebsbeiwertsverteilung

cA=1,0
ca(y) variiert über die Halbspannweite (y)

ca(0,5)=1,1
ca(0,8)=0,7 usw...

Wir sehen hier, daß es wichtig ist, zwischen lokalen Auftriebsbeiwerten und Gesamt-Auftriebsbeiwert zu unterscheiden. Für die Widerstandsbetrachtung in der Profilpolare muß genaugenommen der lokale Auftriebsbeiwert ca(y) zugrundegelegt werden. Oft nimmt man aber den Flügel-cA, weil man ohnehin mangels Daten in vielen Fällen nicht einmal den Rezahlverlauf über die Spannweite berücksichtigen kann. Dieser Rezahl bedingte Fehler ist viel größer als der Fehler durch den cA (anstatt ca-Verlauf), sofern man einen gering geschränkten Flügel hat.

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